Ako nájsť oblasť kruhového segmentu

Jedným zo spoločných geometrických problémov je výpočet plochy kruhového segmentu - časti kruhu ohraničenej akordom a zodpovedajúceho akordu kruhového oblúka.

Plocha kruhového segmentu sa rovná rozdielu medzi plochou príslušného kruhového sektora a plochou trojuholníka tvorenou polomermi zodpovedajúceho segmentu sektora a akordom ohraničujúcim segment.

Príklad 1

Dĺžka akordu sťahujúceho sa z kruhu sa rovná hodnote a. Stupeň oblúka zodpovedajúci akordu je 60 °. Nájdite oblasť kruhového segmentu.

rozhodnutie

Trojuholník tvorený dvoma polomermi a akordom je rovnoramenný, takže výška nakreslená od vrcholu stredného uhla po stranu trojuholníka tvoreného akordom bude tiež deliacou stredovou čiarou, ktorá ju zmenšuje na polovicu a stredná na polovicu akordu. S vedomím, že sínus uhla v pravouhlom trojuholníku sa rovná pomeru opačnej strany k prepony, môžeme vypočítať polomer:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Plochu sektora zodpovedajúcu danému uhlu možno vypočítať podľa tohto vzorca:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Plocha trojuholníka zodpovedajúca sektoru sa vypočíta takto:

S ▲ = 1/2 * ah, kde h je výška nakreslená od vrcholu stredového uhla k tetivy. Podľa Pythagorovej vety je h = √ (R2-a² / 4) = -3 * a / 2.

Podobne S = √3 / 4 * a².

Plocha segmentu vypočítaná ako Sseg = Sc - S ▲ sa rovná:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Nahradením číselnej hodnoty namiesto a môžete ľahko vypočítať číselnú hodnotu oblasti segmentu.

Príklad 2

Polomer kruhu sa rovná a. Stupeň oblúka zodpovedajúci segmentu je 60 °. Nájdite oblasť kruhového segmentu.