Ako riešiť systémy rovníc

Nie je ťažké vyriešiť systém rovníc pomocou základných metód riešenia systémov lineárnych rovníc: substitučnej metódy a metódy sčítania.

Návod na použitie

1

Uvažujme metódy riešenia systému rovníc na príklade systému dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi hodnotami. Vo všeobecnosti sa takýto systém zapisuje takto (vľavo sú rovnice kombinované s zloženou zátvorkou):

ax + b = c

dx + ey = f, kde

a, b, c, d, e, f sú koeficienty (špecifické čísla) a x a y sú ako obvykle neznáme. Čísla a, b, c, d sa nazývajú koeficienty pre neznáme a ac a f sa nazývajú voľné výrazy. Riešenie takého systému rovníc je nájdené dvoma hlavnými metódami.

Riešenie systému rovníc substitučnou metódou.

1. Zoberieme prvú rovnicu a jednu z neznámych (x) vyjadríme koeficientmi a druhú neznámu (y):

x = (s-by) / a

2. Nahradiť výraz získaný pre x do druhej rovnice:

d (c-by) / a + ey = f

3. Pri riešení výslednej rovnice nájdeme výraz y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Nahraďte výsledný výraz pre y do výrazu pre x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Príklad: potrebujete vyriešiť systém rovníc:

3x-2r = 4

x + 3r = 5

Nájdite hodnotu x z prvej rovnice:

x = (2r + 4) / 3

Nahraďte výsledný výraz do druhej rovnice a získajte rovnicu s jednou premennou (y):

(2r + 4) / 3 + 3r = 5, odkiaľ dostaneme:

y = 1

Teraz nahradíme nájdenú hodnotu y vo výraze premennej x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Odpoveď: x = 2, y = 1.

2

Riešenie sústavy rovníc metódou sčítania (odčítania).

Táto metóda sa redukuje na vynásobenie oboch strán rovníc číslami (parametrami) tak, že v dôsledku toho sa koeficienty jednej z premenných zhodujú (pravdepodobne s opačným znamienkom).

Vo všeobecnom prípade sa obe strany prvej rovnice musia vynásobiť (-d) a obe strany druhej rovnice a. Výsledkom je:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Pridaním výsledných rovníc získame:

-bdu + aeu = -cd + af, odkiaľ dostaneme výraz pre premennú y:

y = (af-cd) / (ae-bd), nahradením výrazu y v ktorejkoľvek rovnici systému získame:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

z tejto rovnice nájdeme druhú neznámu:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Príklad. Vyriešte systém rovníc sčítaním alebo odčítaním:

3x-2r = 4

x + 3r = 5

Vynásobte prvú rovnicu číslom (-1) a druhou rovnicou 3:

-3x + 2r = -4

3x + 9r = 15

Sčítaním (term by term) oboch rovníc dostaneme:

11r = 11

Kde sa dostaneme:

y = 1

Získanú hodnotu y nahradíme do ktorejkoľvek z rovníc, napríklad do druhej dostaneme:

3x + 9 = 15, odtiaľ

x = 2

Odpoveď: x = 2, y = 1.