Ako riešiť rovnice s koreňmi

Niekedy v rovniciach je znak koreňa. Mnoho študentov sa zdá, že je veľmi ťažké riešiť také rovnice „s koreňmi“ alebo, presnejšie povedané, iracionálne rovnice, ale nie je to tak.

Návod na použitie

1

Na rozdiel od iných typov rovníc, napríklad kvadratických alebo lineárnych systémov rovníc, neexistuje štandardný algoritmus na riešenie rovníc s koreňmi alebo presnejšie, iracionálne rovnice. V každom konkrétnom prípade je potrebné zvoliť najvhodnejšiu metódu riešenia založenú na „vzhľade“ a vlastnostiach rovnice.

Zvyšovanie častí rovnice na rovnakú úroveň.

Najčastejšie sa na riešenie rovníc s koreňmi (iracionálne rovnice) používa zvýšenie oboch strán rovnice na rovnaký stupeň. Spravidla do stupňa, ktorý sa rovná stupňu koreňa (druhá mocnina pre druhú odmocninu, kocka pre kubický koreň). Malo by sa pamätať na to, že keď zdvihne ľavú a pravú stranu rovnice na rovnakú úroveň, môže mať „extra“ korene. Preto by sa v tomto prípade mali získané korene skontrolovať ich nahradením do rovnice. Pri riešení rovníc so štvorcovými (párnymi) koreňmi by sa osobitná pozornosť mala venovať rozsahu prípustných hodnôt premennej (ODZ). Niekedy stačí len odhad ODL, aby sa rovnica vyriešila alebo výrazne zjednodušila.

Príklad. Riešenie rovnice:

√ (5x-16) = x-2

Zarovnávame obe strany rovnice:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², odkiaľ postupne dostávame:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Pri riešení získanej kvadratickej rovnice nájdeme jej korene:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Nahradením oboch nájdených koreňov do pôvodnej rovnice získame správnu rovnosť. Preto sú obe čísla riešením rovnice.

2

Metóda zavedenia novej premennej.

Niekedy je vhodnejšie nájsť korene „rovnice s koreňmi“ (iracionálna rovnica) zavedením nových premenných. V skutočnosti je podstata tejto metódy jednoducho redukovaná na kompaktnejší záznam riešenia, t.j. Namiesto písania rozmerného výrazu je nahradený legendou.

Príklad. Vyriešte rovnicu: 2x + √x-3 = 0

Túto rovnicu môžete vyriešiť zarovnaním oboch strán. Samotné výpočty však budú vyzerať dosť ťažkopádne. So zavedením novej premennej bude rozhodovací proces oveľa elegantnejší:

Zaviedli sme novú premennú: y = √ x

Potom dostaneme obyčajnú kvadratickú rovnicu:

2y² + y-3 = 0, s premennou y.

Pri riešení výslednej rovnice nájdeme dva korene:

y1 = 1 a y2 = -3 / 2, nahradením nájdených koreňov vo výraze za novú premennú (y) získame:

√ x = 1 a √ x = -3 / 2.

Keďže druhá odmocnina nemôže byť záporné číslo (ak sa nedotknete oblasti zložitých čísel), dostaneme jediné riešenie:

x = 1.

druhá odmocnina