Ako vypočítať plochu rovnobežníka založeného na vektoroch

Na ľubovoľných dvoch nekolineálnych a nenulových vektoroch sa dá skonštruovať rovnobežník. Ak skombinujete ich pôvod v jednom bode, tieto dva vektory sa stiahnu z rovnobežníka. Dokončite strany obrázku.

Návod na použitie

1

Nájdite dĺžky vektorov, ak sú uvedené ich súradnice. Napríklad, vektor A má v rovine súradnice (a1, a2). Potom je dĺžka vektora A | A | = √ (a1² + a2²). Podobne nájdeme modul vektora B: | B | = √ (b1² + b2²), kde b1 a b2 sú súradnice vektora B v rovine.

2

Plocha rovnobežníka sa nachádza podľa vzorca S = | A | • | B | • sin (A ^ B), kde A ^ B je uhol medzi danými vektormi A a B. Sinus sa dá nájsť prostredníctvom kosínu pomocou základnej trigonometrickej identity: sin²α + cos²α = 1. Kosín môže byť vyjadrený ako skalárny súčin vektorov napísaných súradnicami.

3

Skalárny produkt vektora A vektorom B je označený (A, B). Podľa definície sa rovná (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). V súradniciach je skalárny produkt napísaný takto: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Odtiaľ môžeme vyjadriť kosínus uhla medzi vektormi: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). V čitateli je skalárny produkt, v menovateli dĺžky vektorov.

4

Teraz môžeme sínus vyjadriť z hlavnej trigonometrickej identity: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Ak predpokladáme, že uhol a medzi vektormi je ostrý, mínus so sínusom môže byť vyradený, pričom zostane iba znamienko plus, pretože sínus ostrého uhla môže byť iba kladný (alebo nula pri nulovom uhle, ale tu je uhol nenulový, zobrazuje sa to v stave kolísanie vektorov).

5

Teraz musíme nahradiť sínusový výraz kosínusom v sínusovom vzorci. Potom ostane iba zapísať výsledok do rovnice rovnobežníkovej oblasti. Ak sa toto všetko urobí a numerický výraz sa zjednoduší, potom sa ukáže, že S = a1 • b2-a2 • b1. Plocha rovnobežníka skonštruovaného na vektoroch A (a1, a2) a B (bl, b2) sa teda získa vzorcom S = a1 • b2-a2 • bl.

6

Výsledná expresia je determinantom matice zloženej zo súradníc vektorov A a B: a1 a2b1 b2.

7

V skutočnosti, aby sme získali determinant matice dimenzie dva, musíme znásobiť prvky hlavnej diagonály (a1, b2) a od tejto hodnoty odpočítať súčin prvkov bočných uhlopriečok (a2, b1).